Israels militära operation i Rafah uppges hittills vara begränsad i omfång, vilket Vita huset uppger att Israel försäkrat.
Men enligt den israeliske försvarsministern Yoav Gallant är insatsen inte över.
– Den kommer att fortsätta tills Hamas har besegrats i området runt Rafah och i hela Gaza, eller tills de första i gisslan kommer hem, säger Gallant till israeliska medier och soldater i Rafah.
Han öppnar för kompromisser för att de omkring 100 i gisslan ska släppas, men säger att "om det alternativet inte är möjligt" så kommer insatsen att "fördjupas" i hela Gaza.
Bränsle för ett dygn
Invånare i Rafah har uppmanats av den israeliska militären att bege sig till särskilt inrättade områden i al-Mawasi och Khan Yunis där de, enligt Israel, kan få mat, vatten och annan humanitär hjälp.
Mer än en miljon människor har trängt ihop sig i tält och överfulla lägenheter i Rafah efter att ha flytt Israels militära offensiv i andra delar av Gazaremsan.
FN säger att man av israeliska myndigheter har nekats tillträde till gränsövergången vid Rafah, som är en av de viktigaste vägarna för att få in humanitärt bistånd till Gaza. Biståndsoperationen varnar samtidigt att det bara finns bränsle för ett dygn framöver.
– Om inget bränsle kommer in skulle det vara ett mycket effektivt sätt att begrava den humanitära insatsen, säger Jens Lærke, chef för FN:s humanitära organ Ocha, på en presskonferens.
Den israeliska militären hävdar att den tog kontroll över gränsen efter att ha fått underrättelseinformation om att övergången "användes för terrorsyften". Armén framförde dock inte några bevis för påståendet.
Förhandlingar pågår
Övertagandet av gränsövergången sker samtidigt som terrorstämplade Hamas har sagt att de säger ja till ett förslag om vapenvila och utväxling av gisslan och fångar. Israels premiärminister Benjamin Netanyahu har sagt att det inte uppfyller Israels krav.
Enligt förslaget ska islamistiska Hamas frige gisslan – kvinnor, äldre och personer i behov av sjukvård – i utbyte mot en sex veckor lång vapenvila och frigivning av ett mycket stort antal palestinska fångar. Israel hade krävt att 33 personer ur gisslan skulle släppas, men det är oklart hur många kvinnor och äldre som fortfarande är i livet, skriver The New York Times.