Aupetit, 70, har erbjudit sig att avgå från sin post på grund av "tvetydigt beteende" med en kvinna.
Enligt en talesperson för ärkestiftet handlar det varken om en kärleks- eller en sexuell relation. Erbjudandet om att avgå var inget erkännande, utan en "ödmjuk gest" och en inbjudan till dialog, sade talespersonen i förra veckan.
Själv säger Aupetit i ett uttalande att han gör det av omtanke om ärkestiftet.
Katolska kyrkan i Frankrike har ännu inte hämtat sig efter en förödande rapport, publicerad av en oberoende kommission i oktober, som bedömer att katolska präster förgripit sig på över 200 000 barn sedan 1950-talet.